拉格朗日插值

拉格朗日插值适合在一组离散节点 \( (x_0,y_0), (x_1,y_1), \dots, (x_n,y_n) \) 上，直接构造一个穿过所有点的多项式。它的核心思想是：给每个采样点构造一个“只在自己位置取 1，在其他节点取 0”的基函数。

最终插值多项式写成：

\[ P_n(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x), \qquad L_i(x)=\prod_{j=0,j\ne i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

直观理解：它是在“全局”上用一个高次多项式拟合所有点，所以局部加一点、整体都会动。

牛顿插值

牛顿插值同样构造一条通过所有采样点的多项式，但它把多项式写成逐项累加的形式，配合差商表后，增量更新很方便。

标准形式为：

\[ P_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots \]

其中 \(f[x_0,x_1,\dots,x_k]\) 是 差商。差商可以递推计算：

\[ f[x_i,x_{i+1},\dots,x_{i+k}] = \frac{f[x_{i+1},\dots,x_{i+k}] - f[x_i,\dots,x_{i+k-1}]} {x_{i+k} - x_i} \]

分段线性插值

分段线性插值不再追求用一条高次曲线穿过所有点，而是把相邻两个节点之间用一条直线连接起来。它是最简单、最稳妥的局部插值方法之一。听上去很厉害就是用相临两个点预测中间的点，不过线性插值是最常用的，因为简单稳定且计算量小。

当 \(x \in [x_i, x_{i+1}]\) 时，插值公式是：

\[ P(x)=y_i+\frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}(x-x_i) \]

• 优点：简单、快、稳定，对数据噪声不过分敏感。
• 缺点：拐点明显，一阶导数不连续，曲线看起来比较“折”。

三次样条插值

三次样条插值是在每个区间上用一个三次多项式，但同时要求整条曲线在节点处足够平滑，通常要求函数值、一阶导数、二阶导数都连续。主要用于需要光滑曲线的场景(比如用于路径计算可以保证$a=y^{\prime \prime }$也就是加速度连续)，具体求解方法通过三对角方程组，运算速度较快经常使用。

每段可以写成：

\[ S_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i)^2+d_i(x-x_i)^3,\qquad x\in[x_i,x_{i+1}] \]

再结合端点条件（自然边界、夹持边界、周期边界等）求出所有系数。

你可以把它理解成：既想贴合数据，又不想让曲线在节点处突然折一下，因此用“局部三次 + 全局平滑约束”来折中。

二维插值法

二维插值在一些栅格数据或者图像数据里面常用，比如GIS。

克里金法

克里金法（Kriging）是地统计学里非常经典的一种空间插值方法，它不仅给出预测值，还给出预测误差估计。和前面的纯几何/代数插值不同，它会显式利用样本之间的空间相关性。最小化估计误差方差的无偏估计。(要保证符合地理学第一定律)

其基本形式可写成加权和：

\[ \hat{Z}(x_0)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i Z(x_i) \]

权重 \(\lambda_i\) 不是随便定的，而是通过协方差函数或半变异函数来求，使得估计无偏、方差最小。

• 优点：适合空间数据，能量化不确定性。
• 缺点：需要建立变异函数模型，计算量通常更大。

双线性插值

双线性插值是二维网格上的常用方法，尤其常见于图像缩放、纹理采样和栅格数据重采样。它可以看作先沿一个方向做线性插值，再沿另一个方向做一次线性插值。在图像处理领域常用，比如要求输入为64x64但是实际输入的是32x32使用这个方法进行扩展图片然后输入。深度学习的图像处理也经常用这个算法通过随机缩放图片来用于做数据集增强，增强图像模型的鲁棒性。

设四个角点分别为 \(Q_{11}, Q_{12}, Q_{21}, Q_{22}\)， 那么点 \((x,y)\) 的估计值为：

\[ f(x,y)\approx \frac{ \begin{aligned} & f(Q_{11})(x_2-x)(y_2-y) + f(Q_{21})(x-x_1)(y_2-y) \\ & \quad + f(Q_{12})(x_2-x)(y-y_1) + f(Q_{22})(x-x_1)(y-y_1) \end{aligned} }{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} \]