1. 半群的定义

一个半群$(S, \cdot)$是一个集合 $S$上定义了一种二元运算：乘法$\cdot$，满足以下公理：

1. 封闭性：$\forall a, b \in S,\ a \cdot b \in S$

2. 结合律：$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

2. 幺半群的定义

一个幺半群$(M, \cdot)$是一个集合 M 上定义了一种二元运算：乘法$\cdot$，满足以下公理：

1. 封闭性：$\forall a, b \in M,\ a \cdot b \in M$

2. 结合律：$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

3. 单位元：$\exists e \in M,\ \text{s.t.}\ a \cdot e = e \cdot a = a$

3. 群的定义

一个群$(G, \cdot)$是一个集合 G 上定义了一种二元运算：乘法$\cdot$，满足以下公理：

1. 封闭性：$\forall a, b \in G,\ a \cdot b \in G$

2. 结合律：$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

3. 单位元：$\exists e \in G,\ \text{s.t.}\ a \cdot e = e \cdot a = a$

4. 逆元：$\forall a \in G,\ \exists a^{-1} \in G,\ \text{s.t.}\ a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e$

若还满足交换律：$a \cdot b = b \cdot a$，则称为阿贝尔群

4. 环的定义

一个环 $(R, +, \cdot)$ 是一个集合 $R$ 上定义了两种二元运算：加法 $+$ 和乘法 $\cdot$，满足以下公理：

1. 加法群：$(R, +)$ 是一个阿贝尔群

• 封闭性：$\forall a, b \in R,\ a + b \in R$

• 结合律：$(a + b) + c = a + (b + c)$

• 零元：$\exists 0 \in R,\ \text{s.t.}\ a + 0 = a$

• 逆元：$\forall a \in R,\ \exists -a \in R,\ \text{s.t.}\ a + (-a) = 0$

• 交换律：$a + b = b + a$

2. 乘法半群：$(R, \cdot)$ 是一个半群

• 封闭性：$\forall a, b \in R,\ a \cdot b \in R$

• 结合律：$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

3. 分配律：乘法对加法满足左右分配律

• 左分配律：$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

• 右分配律：$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

5. 整环的定义

一个整环

$(D, +, \cdot)$是一个集合$D$上定义了两种二元运算：加法$+$和乘法 $\cdot$，满足以下公理：

1. 加法群：$(D, +)$ 是一个阿贝尔群

• 封闭性：$\forall a, b \in D,\ a + b \in D$

• 结合律：$(a + b) + c = a + (b + c)$

• 零元：$\exists 0 \in D,\ \text{s.t.}\ a + 0 = a$

• 逆元：$\forall a \in D,\ \exists -a \in D,\ \text{s.t.}\ a + (-a) = 0$

• 交换律：$a + b = b + a$

2. 乘法幺半群：$(D, \cdot)$ 是一个交换幺半群

• 封闭性：$\forall a, b \in D,\ a \cdot b \in D$

• 结合律：$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

• 单位元：$\exists 1 \in D,\ \text{s.t.}\ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$

• 交换律：$a \cdot b = b \cdot a$

3. 分配律：乘法对加法满足分配律

• 分配律：$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

4. 无零因子：$\forall a, b \in D,\ a \cdot b = 0 \Rightarrow a = 0 \ \text{或}\ b = 0$

6. 域的定义

一个域

$(F, +, \cdot)$是一个集合$F$上定义了两种二元运算：加法$+$和乘法$\cdot$，满足以下公理：

1. 加法群：$(F, +)$ 是一个阿贝尔群

• 封闭性：$\forall a, b \in F,\ a + b \in F$

• 结合律：$(a + b) + c = a + (b + c)$

• 零元：$\exists 0 \in F,\ \text{s.t.}\ a + 0 = a$

• 逆元：$\forall a \in F,\ \exists -a \in F,\ \text{s.t.}\ a + (-a) = 0$

• 交换律：$a + b = b + a$

2. 乘法群：$(F \setminus \{0\}, \cdot)$ 是一个阿贝尔群

• 封闭性：$\forall a, b \in F \setminus \{0\},\ a \cdot b \in F \setminus \{0\}$

• 结合律：$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

• 单位元：$\exists 1 \in F \setminus \{0\},\ \text{s.t.}\ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$

• 逆元：$\forall a \in F \setminus \{0\},\ \exists a^{-1} \in F \setminus \{0\},\ \text{s.t.}\ a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$

• 交换律：$a \cdot b = b \cdot a$

3. 分配律：乘法对加法满足分配律

• 分配律：$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

7. 子群的定义

设$(G, \cdot)$是一个群，$H \subseteq G$且$H \neq \varnothing$，若 $(H, \cdot)$也构成一个群，则称$H$是$G$的子群，满足以下条件：

1. 封闭性：$\forall a, b \in H,\ a \cdot b \in H$

2. 单位元：$e \in H（e 为 G 的单位元）$

3. 逆元：$\forall a \in H,\ a^{-1} \in H$

8. 理想的定义

设 $(R, +, \cdot)$ 是一个环，$I \subseteq R$且$I \neq \varnothing$，若$I$满足以下条件，则称$I$是$R$的理想：

1. 加法子群：$(I, +)$ 是$(R, +)$ 的子群

• 封闭性：$\forall a, b \in I,\ a + b \in I$

• 零元：$0 \in I$

• 逆元：$\forall a \in I,\ -a \in I$

2. 吸收性：$\forall r \in R,\ \forall a \in I,\ r \cdot a \in I 且 a \cdot r \in I$

9. 商群的定义

设$(G, \cdot)$ 是一个群，$N$ 是$G$的正规子群（即 $\forall g \in G,\ gNg^{-1} = N$），则商集$G/N = \{gN \mid g \in G\}$在运算 $(aN)(bN) = (ab)N$下构成一个群，称为$G$关于$N$的商群:

1. 封闭性：$(aN)(bN) = (ab)N \in G/N$

2. 结合律：$(aN)(bN)(cN) = (abc)N$

3. 单位元：$N = eN 为单位元$

4. 逆元：$(aN)^{-1} = a^{-1}N$

10. 同态与同构的定义

群同态：设$(G, \cdot)$和$(H, )$是两个群，映射$\varphi: G \to H$满足$\forall a, b \in G,\ \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \varphi(b)$，则称$\varphi$为群同态

群同构：若群同态$\varphi$是双射，则称$\varphi$为群同构，记作 $G \cong H$

环同态：设 $(R, +, \cdot)$ 和$(S, \oplus, \otimes)$是两个环，映射$\varphi: R \to S$满足：

• $\varphi(a + b) = \varphi(a) \oplus \varphi(b)$

• $\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b)$

则称$\varphi$为环同态。若$\varphi$是双射，则称为环同构